Anillo de polinomios

, se dice anillo de polinomios con indeterminadas en

Los polinomios más conocidos son los que tienen coeficientes enteros.

puede ser un conjunto infinito, pero cada polinomio contiene un número finito de términos.

es un anillo de polinomios en una sola indeterminada

le corresponde un polinomio (monomio, de hecho) en

Hechos de interés sobre anillos de polinomios tienen que ver con las propiedades del mismo a partir del anillo en el que tienen sus coeficientes.

nunca será un cuerpo, no importando que

lo sea o no, pues aunque las unidades de

En la práctica podemos hacer agrupaciones del tipo

y éstas también deben hacerse en un anillo de polinomios

Todo polinomio no nulo de

cuyo coeficiente director sea una unidad puede dividir euclídeamente a cualquier otro polinomio de

no nulos, con el coeficiente director de

tales que Así, para que la división de polinomios sea siempre posible en un anillo de polinomios

todo elemento de A debe ser una unidad), y si así sucede

Un hecho muy importante es que un anillo de polinomios

es un dominio de ideales principales (DIP) si y sólo si

nunca es un cuerpo y por tanto tampoco un DIP.

(aquí y en el resto del artículo consideramos que

se anula para todos los demás elementos (si estos existen) de

Estas aplicaciones están bien definidas, y claramente

se interpreta como el producto de los monomios representados por

Así, este monomio se representa por el mismo símbolo 0.

no se anula (por definición, estos elementos son siempre un número finito).

Así, por ejemplo, es suficiente asociar el polinomio (1) con una aplicación

toma el valor del coeficiente correspondiente cuando se evalúa en un monomio

Podemos considerar ahora los monomios con coeficientes en el anillo

como un subanillo, es necesario definir las operaciones de anillo sobre

Esta definición se interpreta como la reducción de los términos semejantes (i.e.

Cuando multiplicamos polinomios, acostumbramos sumar los términos semejantes que surjan en el producto para obtener un polinomio lo más reducido posible.