Cálculo fraccional de conjuntos
[2] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.
[3][4][5] Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional [6] y trabajos relacionados posteriores.
[7][8][9] El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».
El nombre «cálculo fraccional» se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden
Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional.
En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que
, el siguiente operador fraccional de orden
se define utilizando notación de Einstein:[10] Denotando
, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
Como consecuencia, se define el siguiente conjunto: Para una función
El conjunto de operadores fraccionales considerando órdenes infinitos se define como: donde bajo el producto de Hadamard [11] clásico se tiene que: Para cada operador
, se define el siguiente producto de Hadamard modificado:
producto de Hadamard tipo horizontal
producto de Hadamard tipo vertical
Considerando el producto de Hadamard modificado, se define el siguiente conjunto de operadores matriciales fraccionales:
que corresponde al grupo Abeliano [13] generado por el operador
Dado que el conjunto en la ecuación (1) se define aplicando solo el producto de Hadamard tipo vertical entre sus elementos, para todos
{\displaystyle A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))}
con lo cual es posible demostrar que el conjunto (1) satisface las siguientes propiedades de un grupo Abeliano:
se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
y el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
, es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
lo cual se puede expresar de forma más compacta como:
es posible definir el siguiente método iterativo fraccional:
que corresponde al caso más general del método de Newton-Raphson fraccional.
El uso de operadores fraccionales en métodos de punto fijo ha sido ampliamente estudiado y citado en diversas fuentes académicas.
Ejemplos de esto se pueden encontrar en varios artículos publicados en revistas de renombre, como los que aparecen en ScienceDirect,[14][15] Springer,[16] World Scientific,[17] y MDPI,[18][19][20][21][22] [23] ,,[24] [25] .
También se incluyen estudios de Taylor & Francis (Tandfonline) [26] , Cubo [27] , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas,[28] Journal of Research and Creativity,[29] MQR [30] , y Актуальные вопросы науки и техники.
