Si se elige uniformemente al azar una muestra de un conjunto finito A, la información que se revela con el resultado está dada por la función de Hartley donde | A | denota la cardinalidad de A.
La función de Hartley solo depende del número de elementos en un conjunto, y por tanto puede verse como una función sobre los números naturales.
Queremos demostrar que la función de Hartley, log2(n), es la única función de los números naturales en números reales que satisface las condiciones Sea ƒ una función sobre los enteros positivos que satisface las propiedades anteriores.
Por la propiedad aditiva, podemos probar que para cualquier par de enteros n y k, Sean a, b, y t enteros positivos cualesquiera.
Existe un único entero s determinado por Por tanto, y Por otra parte, por monotonía Usando la ecuación (1), se obtiene y Así, Dado que t puede ser arbitrariamente grande, la diferencia en el lado izquierdo de la desigualdad debe ser cero, Por tanto, para alguna constante μ, que debe ser igual a 1 por la propiedad de normalización.