Función tau de Ramanujan
La función tau de Ramanujan, estudiada por Srinivasa Ramanujan (1916), es la función
q = exp ( 2 π i z )
es una forma de cúspide holomórfica de peso 12 y nivel 1, conocida como la forma modular discriminante.
Aparece en relación con un "término de error" involucrado en contar el número de formas de expresar un número entero como una suma de 24 cuadrados.
Una fórmula debida a Ian G. Macdonald fue dada en Dyson (1972).
Los primeros valores de la función tau se dan en la siguiente tabla (sucesión A000594 en OEIS): Ramanujan (1916) observó, pero no demostró, las siguientes tres propiedades de
: Las dos primeras propiedades fueron probadas por Mordell (1917) y la tercera, llamada conjetura de Ramanujan, fue probada por Deligne en 1974 como consecuencia de su prueba de las conjeturas de Weil (específicamente, la dedujo aplicándolas a una variedad de Kuga-Sato).
Para k ∈ Z y n ∈ Z>0, se define σk(n) como la suma de las k-ésimas potencias de los divisores de n. La función tau satisface varias relaciones de congruencia.
A continuación figuran algunas:[1] Para números p ≠23 primos, se tiene que[1][7] Supóngase que
es una nueva forma entera de peso
y los coeficientes de Fourier
no tiene una multiplicación compleja, pruébese que casi todos los números primos
De hecho, la mayoría de los números primos deberían tener esta propiedad y, por lo tanto, se denominan ordinarios.
A pesar de los grandes avances de Deligne y Serre sobre las representaciones de Galois, que determinan
{\displaystyle a(n){\bmod {p}}}
, no se conoce cómo calcular
El único teorema a este respecto es el famoso resultado de Elkies para curvas elípticas modulares, que de hecho garantiza que hay infinitos números primos
, que a su vez es obviamente
No se conoce ningún ejemplo de no CM
(aunque debería ser cierto para casi todo
Tampoco se conocen ejemplos donde
Se había comenzado a dudar de si
de hecho para infinitamente muchos
Como evidencia, se citaron los trabajos de Ramanujan sobre
Las únicas soluciones a la ecuación
, lo que se ha comprobado hasta
, una proposición conocida como conjetura de Lehmer.
El propio Lehmer verificó la conjetura para
La tabla siguiente resume el progreso en la búsqueda de valores de
cada vez mayores, para los que esta condición se mantiene para todo
