Había llegado a la Real Sociedad procedente del modesto Club Deportivo Hernani en 1955.
En 1961, tras haber jugado muy poco en la temporada anterior deja el club y abandona la práctica del fútbol.
Aunque más conocido por su faceta como futbolista y posteriormente presidente de la Real Sociedad es destacable también la labor política desempeñada por Alkiza.
La directiva de Alkiza fue también la que tomó la decisión de volver a fichar jugadores extranjeros (una práctica que no realizaba el club desde los años 1960), al fichar al anglo-irlandés John Aldridge en 1988.
Por fin se solucionó el problema del Estadio de Atocha (pequeño y anticuado), al acometerse la construcción del Estadio de Anoeta, sufragado por las instituciones públicas y la Real Sociedad.
En 1992 cuando Alkiza dimitió estaba bien considerado por la afición y su gestión no estaba contestada por grupos significativos.
Iñaki Alkiza no quería que la carrera futbolística de su hijo fuese cuestionada por ser el hijo del presidente del club y dimitió para no interferir en la misma.