Método de la transformada inversa
El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido como método de la transformada integral de probabilidad inversa,[1] es un método para la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución (cdf).
Este método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad.
El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general, es más eficiente desde el punto de vista computacional.
[2] El método se utiliza para simular valores de las distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull.
El problema que resuelve el método de la transformada inversa es el siguiente: El método de la transformada inversa funciona de la siguiente manera: Expresado de manera diferente, dada una variable aleatoria continua
y una función de distribución invertible
con función de distribución
es una función estrictamente creciente.
Queremos ver si podemos hallar una transformación estrictamente monótona
{\displaystyle T(U){\overset {d}{=}}X}
donde en el último paso se utilizó que
es la inversa de la función
Considérese que se desea generar una variable aleatoria continua
con función de distribución
, se considera el método de la transformada inversa basado en el siguiente teorema.
, para cualquier función de distribución continua invertible
se define como el valor de
es una función de distribución entonces
es una función monótona creciente de
entonces Este teorema muestra que para generar una variable aleatoria
Supóngase que queremos generar el valor valor de una variable aleatoria discreta
con función de probabilidad con
y Para esto, generamos un número aleatorio
Supóngase que se tiene una variable aleatoria
y una función de distribución Para poder aplicar el método, debemos resolver
a partir de aquí, ya podemos aplicar los pasos uno, dos y tres antes mencionados Si
es una variable aleatoria exponencial con parámetro
entonces su función de distribución está dada por Si hacemos
entonces esto es por lo tanto, para generar una variable aleatoria exponencial con parámetro
, aplicando este resultado obtenemos a partir de aquí, ya podemos aplicar los pasos uno, dos y tres antes mencionados.
