Operador diferencial vectorial

Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una variedad diferenciable.

El cálculo fraccional de conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",[1]​ es una metodología derivada del cálculo fraccional.

[2]​ El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.

[3]​[4]​[5]​ Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional [6]​ y trabajos relacionados posteriores.

[7]​[8]​[9]​ El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.

Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero:

Gracias a esta notación, L’Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar

En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".

El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden

Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional.

En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que

Considerando una función escalar

y la base canónica de

{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}

, el siguiente operador fraccional de orden

se define utilizando notación de Einstein:[10]​ Denotando

como la derivada parcial de orden

con respecto al componente

-ésimo del vector

, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:[11]​[7]​

{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},}

{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para al menos un }}k\geq 1\right\}.}

Como consecuencia, se define el siguiente conjunto: Para una función

{\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}

, el conjunto se define como: donde

{\displaystyle [h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }

-ésimo componente de la función

Algunos autores consideran además cualquier operador diferencial usado en el cálculo vectorial, por lo que consideran que el operador gradiente es un operador diferencial vectorial, ya que su resultado sobre una función escalar da lugar a un campo vectorial.