Método de separación de variables
El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas".
Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.
El método sirve para encontrar soluciones parciales completas, no soluciones generales, dependientes de un conjunto numerable de constantes arbitrarias, lo cual permite resolver tanto problemas de valor inicial como problemas de frontera e incluso problemas que involucran condiciones de los dos tipos.
Para ilustrar el método se consideran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales homogéneas con dos variables independientes y condiciones de frontera también homogéneas.
En las siguientes secciones se discutirán los requerimientos y se discutirán casos más generales.
La descripción del procedimiento en esta sección se hará simultáneamente para los tres tipos canónicos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden (ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas), especificando las condiciones iniciales (CI) y condiciones de frontera (CF) para cada caso.
El caso hiperbólico sería de la forma: (1a)
El caso parabólico sería de la forma: (1b)
Y el caso elíptico sería de la forma: (1c)
Para los casos hiperbólico y parabólico se buscará una solución de la forma: (2a,b)
Sustituyendo u por esas expresiones en la ecuación diferencial correspondiente y reagrupando los términos se llega para el caso hiperbólico (CH), parabólico (CP) y elíptico (CE) a: (3)
Puesto que cada uno de los dos miembros de estas expresiones depende de variables distintas y la igualdad debe darse para cualesquiera t, x, y, la única posibilidad es que cada uno de los miembros sea igual a una constante fija.
Todo esto ha permitido pasar de una ecuación en derivadas parciales a dos ecuaciones ordinarias separadas para cada variable.
Una vez reducido el problema a ecuaciones diferenciales ordinarias se exige que la función
verifica las condiciones de frontera homogéneas en la correspondiente variable, necesariamente
y similarmente para el resto de condiciones.
(autovalores del operador diferencial), éstos se denotarán como
y la autofunción (autovector) correspondiente se denotará como
El requisito de numerabilidad es muy importante, ya que la solución particular completa, dado el carácter lineal de la ecuación original, permite escribir dicha solución como suma numerable.
puede resolverse la ecuación (4) para obtener las siguientes funciones para
son constantes arbitrarias que se determinarán posteriormente en función de las condiciones de frontera.
La solución particular completa se puede expresar ahora como la siguiente serie: (7)
para que se cumplan las condiciones iniciales.
, asociados a la base de autofunciones
Mientras que la función separada que depende de la coordenada radial es solución de una ecuación diferencial de Euler-Cauchy que es fácilmente integrable porque puede ser reducida a una ecuación lineal de coeficientes constantes.
Algunas ecuaciones lineales en derivadas parciales no homogéneas del tipo:
son indénticas a las del problema original, mientras que las condiciones para
El procedimiento es similar al usado para convertir un problema de Dirichlet a un problema de Poisson y viceversa.
Para que una ecuación admita ser resuelta mediante separación de variables debe cumplir algunos requisitos especiales de forma, por ejemplo una ecuación de la forma: (*)
Admite separación de variables si las funciones
