Elipsoide de Poinsot

del cuerpo en rotación "no es constante", pero satisface las ecuaciones de Euler.

Sin resolver explícitamente estas ecuaciones, Louis Poinsot pudo visualizar el movimiento del punto final del vector de la velocidad angular utilizando la conservación de la energía cinética y el momento angular como restricciones en la variación del vector de velocidad angular

La energía cinética angular puede expresarse en términos del tensor de inercia

se llama polhoda (término acuñado por Poinsot a partir de las raíces griegas para expresar "camino del polo") y es generalmente circular o en forma de círculo alabeado.

en el plano invariable se llama 'herpolhoda' (acuñado a partir de las raíces griegas para expresar "camino del polo serpenteante").

[1]​ Estas dos restricciones operan en diferentes marcos de referencia; la restricción elipsoidal se mantiene en el marco del eje principal (giratorio), mientras que la constante del plano invariable opera en el espacio absoluto.

Como sus vectores normales apuntan en la misma dirección, estas dos superficies se intersecarán tangencialmente.

queda definido por el punto de intersección entre un plano invariable fijo y un elipsoide de energía cinética, que es tangente al plano y gira sobre él sin deslizar.

Estas leyes de conservación son equivalentes a dos restricciones para el vector del momento angular tridimensional

, y la polhoda, permanecen en un bucle cerrado, en el marco de referencia móvil del objeto.

Si el cuerpo gira sobre su eje principal intermedio, entonces la intersección del elipsoide y la esfera toma la forma de dos bucles que se cruzan en dos puntos, alineados con ese eje.

Esta construcción parece haber sido desarrollada por Jacques Philippe Marie Binet.

Dos lunas de Plutón y muchos otros cuerpos pequeños del Sistema Solar tienen rotaciones irregulares.

Los elementos nombrados forman la construcción de Poinsot, y su transcurso temporal define un movimiento poinsotiano.

A continuación se enumeran y justifican algunas características del movimiento poinsotiano.

En principio, se asumen tres momentos de inercia diferentes del cuerpo, considerándolo asimétrico.

La primera se calcula a partir del segundo mediante su producto escalar con la velocidad angular:

Entre las polhodas epi y periciloidales se encuentra la polododia divisoria o separatriz (en color negro), que resulta de L² = 2Θ2 Erot, y consta de dos elipses que pueden ser consideradas como una curva compuesta.

Aquí, el momento angular tiene la cantidad mínima compatible con la energía rotacional.

En la polhoda pericicloide, el ángulo de rotación alrededor del eje 1 varía entre dos valores extremos.

Esto es diferente en el caso de la separatriz, cuando un polo ubicado cerca pero no en el eje central, en una polhoda epicíclica o periciclica, se aleja significativamente de su posición inicial y tampoco se envuelve alrededor del eje.

Dado que la componente de velocidad angular, que es perpendicular al momento angular del haz polar AP, y dado que la velocidad angular en sí misma varía entre dos valores extremos, las herpolhodas se encuentran entre dos círculos concéntricos alrededor del punto base A, proyección del centro de masa sobre el plano invariable.

Se considera negativo el alejamiento respecto a los ejes principales, de modo que la velocidad angular ω 1,2,3 debe ser como máximo cero.

Dado que, según este supuesto, como máximo una de las velocidades angulares es cero, las tres aceleraciones angulares nunca pueden desaparecer al mismo tiempo, de modo que el polo nunca puede permanecer estacionario y, por lo tanto, los herpolodas no tienen picos.

El producto cruzado con la velocidad del polo permite calcular:

Todas las velocidades angulares en la polhoda forman un cono, el "cono polar de referencia" y las velocidades angulares según la herpolhoda forman el "como polar móvil" (véanse las Ecuaciones de Euler).

[4]​ Una partícula del cuerpo rígido que coincide con el polo es estacionaria en ese momento Cada movimiento rígido del cuerpo puede descomponerse en una traslación de un punto de referencia y en una rotación respecto a un punto.

Por lo tanto, cada partícula ubicada en el eje de rotación permanece en reposo momentáneamente.

Para comprobarlo, basta señalar que el sistema de inercia del cuerpo principal viene dado por los vectores unitarios o versores

Para que no halla deslizamiento, sus velocidades instantáneas deben de coincidir, y por lo tanto, la superposición de los puntos queda determinada por su coincidencia respecto a la derivada relativa al tiempo.