En matemáticas y, más concretamente en cálculo diferencial, el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas, es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables.
El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
un conjunto abierto tal que existen sus derivadas cruzadas de cualquier orden y son continuas en
, entonces para cualquier punto
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in A}
se cumple que Sea
una función de dos variables definida en un conjunto abierto
, si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en
entonces estas son iguales, es decir: Sea Y sean
reales tales que
Lo cual es posible, ya que
es un abierto de
Se definen dos funciones
de modo que:
Aplicando dos veces el teorema de Lagrange: y análogamente: con
, por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen
Luego haciendo tender
se logra la demostración.