En la teoría de la representación, una rama de las matemáticas, el teorema del peso máximo clasifica las representaciones irreductibles de un álgebra de Lie compleja semisimple
[1][2] Existe un teorema estrechamente relacionado que clasifica las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto conexo
[3] El teorema establece que existe una biyección del conjunto de "elementos integrales dominantes" al conjunto de clases de equivalencia de representaciones irreducibles de
La diferencia entre los dos resultados está en la noción precisa de "integral" en la definición de elemento integral dominante.
El teorema fue demostrado originalmente por Élie Cartan en un artículo de 1913.
[4] La versión del teorema para un grupo de Lie compacto se debe a Hermann Weyl.
es un grupo de Lie compacto conectado con álgebra de Lie
con álgebra de Lie
, y podemos formar el sistema raíz asociado
La teoría procede entonces de manera muy parecida a como en el caso del álgebra de Lie, con una diferencia crucial: la noción de integralidad es diferente.
Específicamente decimos que un elemento
es analíticamente integral [5] si es un número entero para cada raíz
A continuación elegimos un conjunto
de raíces positivas y decimos que un elemento
integral dominante si es a la vez dominante e integral.
se puede expresar como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos.
entonces se llama peso más alto si
es más alto que cualquier otro peso
El teorema del peso más alto establece entonces:[2] La parte más difícil es la última, la construcción de una representación irreducible de dimensión finita con un peso máximo prescrito.
un álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita con subálgebra de Cartan
Entonces decimos que un elemento
es integral [7] si es un número entero siempre que donde
Todo elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie,[8] pero puede haber elementos integrales en el sentido del álgebra de Lie que no son analíticamente integrales.
Esta distinción refleja el hecho de que si
no está simplemente conectado, puede haber representaciones de
que no provienen de representaciones de
está simplemente conectado, las nociones de "integral" y "analíticamente integral" coinciden.
[3] El teorema del mayor peso para las representaciones de
[9] es entonces lo mismo que en el caso del álgebra de Lie, excepto que "integral" se reemplaza por "analíticamente integral".
Hay al menos cuatro pruebas: