Transformaciones covariante y contravariante
En física, las transformaciones covariantes y las transformaciones contravariantes son reglas que especifican de qué manera ciertas entidades, como vectores o tensores, se modifican cuando se introduce un cambio de base.
Un vector en sí mismo es una cantidad geométrica, en principio, independiente (invariante) con respecto a la base elegida.
Sobre otra base, póngase por caso e′j, el mismo vector v tiene diferentes componentes denominadas v′j, y además Como vector, v debe ser invariante con respecto al sistema de coordenadas elegido e independiente de la base elegida, es decir, su dirección y magnitud en el mundo real deben mostrarse iguales independientemente de la base de vectores considerada.
Si se realiza un cambio de base transformando los vectores ei en los vectores de la base e′j, las componentes vi se transforman en las nuevas componentes v′j, que seguirán conservando la longitud y la orientación de los vectores una vez transformados.
Los vectores de base radial er y eφ aparecen girados en sentido antihorario con respecto a los vectores de base rectangular ex y ey.
La transformación contravariante asegura esta propiedad, compensando la rotación entre las dos bases.
[3] Si se observa v desde el contexto del sistema de coordenadas radiales, parece estar más girado en el sentido de las agujas del reloj respecto a los vectores de la base formada por er y eφ cuando se compara con la manera en que aparece en relación con los vectores de la base rectangular formada por ex y ey.
Considérese una función escalar f (como la temperatura en una ubicación en un espacio) definida en un conjunto de puntos p, identificables en un sistema de coordenadas dado
de la curva, con la derivada tomada en el punto p considerado.
Teniendo en cuenta que se puede ver el vector tangente v como un operador (la derivada direccional) que se puede aplicar a una función, entonces El paralelo entre el vector tangente y el operador también se puede calcular en las coordenadas o en términos de operadores
, los vectores tangentes a las curvas que son simplemente la propia cuadrícula de coordenadas.
se puede expresar como función del nuevo sistema, por lo que
la base, los vectores tangentes en este nuevo sistema de coordenadas.
en el nuevo sistema aplicando la regla de la cadena en x.
Considérese un vector tangente v y denomínese a sus componentes
, por lo que donde Si se expresan las nuevas componentes en función de las antiguas, entonces Esta es la forma explícita de una transformación llamada transformación contravariante y se observa que es diferente y justamente la inversa de la regla covariante.
Para distinguirlos de los vectores covariantes (tangentes), el índice se coloca en la parte superior.
[6] Un ejemplo de transformación contravariante lo da la forma diferencial df.
Los diferenciales dx se transforman según la regla contravariante,[7] ya que Las entidades que se transforman covariantemente (como los vectores de las bases) y las que se transforman contravariantemente (como las componentes de un vector y las formas diferenciales) son casi iguales y, sin embargo, son diferentes.
Lo que hay detrás de estas propiedades se conoce matemáticamente como espacio dual, y siempre va aparejado a un espacio vectorial lineal determinado.
[8] Tómese cualquier espacio vectorial T. Una función f en T se llama lineal si, para cualquier par de vectores v y w, y para cualquier escalar α: Un ejemplo sencillo es la función que asigna a un vector el valor de una de sus componentes (llamada función de proyección).
Tiene un vector como argumento y asigna un número real, el valor de una componente.
Todas estas funciones lineales de valores escalares juntas forman un espacio vectorial, llamado 'espacio dual de T. La suma f+g es nuevamente una función lineal cuando f y g son lineales, y lo mismo se aplica a la multiplicación escalar αf.
, se obtiene (usando su linealidad) que es el valor de la primera coordenada.
A veces se introduce una notación adicional, en la que el valor real de una función lineal σ en un vector tangente u se da como donde
Esta notación enfatiza el carácter bilineal de la forma.
En la segunda notación la distinción entre vectores y formas diferenciales es más obvia.
Debido a que un tensor depende linealmente de sus argumentos, está completamente determinado si se conocen los valores sobre la base
se denominan componentes del tensor según la base elegida.
[11] Si se elige otra base (que es una combinación lineal de la base original), se pueden usar las propiedades lineales del tensor, y se encuentra que los componentes del tensor en los índices superiores se transforman como vectores duales (y por lo tanto, contravariantes), mientras que los índices inferiores se transformarán como la base de vectores tangentes y, por lo tanto, son covariantes.
