Eshpai era hijo de un hombre de etnia Mari El y una mujer rusa.
[2][3] Después de servir en la Segunda Guerra Mundial, estudió piano en el Conservatorio de Moscú de 1948 a 1953 bajo la tutela de Vladimir Sofronitsky, y composición con Nikolai Rakov, Nikolai Myaskovsky y Evgeny Golubev como profesores.
Continuó su postgraduado bajo la tutela de Aram Khachaturian desde 1953 a 1956.
[4] Eshpai es padre del compositor Yakov Eshpai y del padre del cineasta Andrei Andreyevich Eshpai.
[5] El 8 de noviembre de 2015, Eshpai moría a causa de un paro cardíaco a la edad de 90 años.