Nacido en Estocolmo, Suecia, su nombre completo era Abraham Anton Gambetta Salmson.
Entre 1891 y 1894 estuvo contratado por el Vasateatern, formando parte en los siguientes cinco años del Eldorado en Oslo.
En 1909 se hizo cargo del Östermalmsteatern dirigido por Albert Ranft, renombrándolo Operett-teatern - De tusen rosornas teater.
Tras una temporada, fue a trabajar fuera de Estocolomo, permaneciendo un tiempo en Helsinki.
Anton Salmson también fue actor cinematográfico, y grabó diversas producciones discográficas.