Axiomas de los números reales
En matemáticas para que una afirmación sea considerada válida debe o bien estar contenida dentro de una base de afirmaciones de partida, los denominados axiomas, o debe poder demostrarse a partir de los mismos.
Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas.
Un axioma no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no resulta trivial.
El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: «afirmación no trivial», son los teoremas, que son afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas.
Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.
Existe un conjunto que se denota por
que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.
El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los números reales y los axiomas de este conjunto comprenden las bases del análisis matemático.
Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.
Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.
Este axioma conecta la suma o resta con la multiplicación: Los axiomas de orden establecen una relación de cantidad.
Esta relación es del tipo mayor o igual.
En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es «menor» que otro si está contenido en este, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.
Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo
O dicho de otra forma, si
De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no son suficientes para demostrar la existencia de un número irracional, como
Para esto es necesario el siguiente Axioma topológico:
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
Hay varios conceptos que deben conocerse para entender el significado de este axioma: sucesión creciente, acotado superiormente y convergencia.
Dada una sucesión infinita de números reales
La sucesión es acotada superiormente si existe una constante real
Bajo estas hipótesis, el axioma topológico nos garantiza que la sucesión es convergente, es decir, existe un número real
Puede verse que los números racionales no satisfacen este axioma.
son números racionales que satisfacen las condiciones del axioma, pero el límite no se encuentra en los racionales.
De esta forma las representaciones decimales infinitas no periódicas representan siempre números reales, y es posible demostrar que todo número real puede escribirse como el límite de una de estas secuencias, aunque no siempre de manera única.
También se le conoce como el Axioma del Supremo, o axioma de completitud o de continuidad porque garantiza que los números reales “completan” la recta,[1][2] Siendo la formulación equivalente en términos de cotas superiores y del supremo de un conjunto la que sigue:[2]
es un conjunto no vacío acotado superiormente en
, se tiene que: Así que existe la mínima o menor de las cotas superiores de
De hecho, por la discusión anterior, se sabe que
