En matemáticas, una biálgebra de Lie es un caso de biálgebra en la teoría de Lie, es decir, un conjunto con estructuras de álgebra de Lie y coálgebra de Lie compatibles.
Es una biálgebra donde la comultiplicación es antisimétrica y satisface una identidad de Jacobi dual, de forma que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie, al mismo tiempo que la comultiplicación es un 1-cociclo, de forma que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles.
La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian únicamente clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un coborde.
Se conocen también como álgebras de Poisson-Hopf, y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie.
es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie y existe también una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio dual
viene dada por un corchete de Lie
y la estructura de álgebra de Lie en
viene dada por un corchete de Lie
Entonces, la aplicación dual de
y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclos: donde
Nótese que esta definición es simétrica y por tanto
es también una biálgebra de Lie, y se denomina biálgebra de Lie dual.
y asignemos las raíces positivas.
y existe una proyección natural
Definimos entonces un álgebra de Lie que es una subálgebra del producto
, y tiene la misma dimensión que
la forma de Killing.
Esto define una estructura de biálgebra de Lie en
, y es el ejemplo estándar: subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo.
El álgebra de Lie
como es habitual, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en
(recordando que una estructura de Poisson lineal sobre un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie sobre el espacio dual).
De forma más detallada, sea G un grupo de Poisson-Lie y sean
dos funciones suaves sobre la variedad de grupo.
ξ = ( d f
el diferencial en el elemento identidad.
La estructura de Poisson en el grupo induce así un corchete en
es el corchete de Poisson.
el bivector de Poisson sobre la variedad, se define
como la traslación a derecha del bivector al elemento identidad en G. Se tiene entonces que El coconmutador es entonces la aplicación tangente: de manera que es el dual del coconmutador.