En análisis de redes sociales y teoría de grafos, el concepto de centralización o centralidad de grupo refiere a la centralidad a nivel grupal que tienen todos los vértices (o nodos o actores) dentro de un grafo o red social.
Formalmente se definen a través de distintas medidas o estadísticos que permiten cuantificar propiedades de una red, como el rango o variabilidad de medidas de centralidad para actores individuales.
[1] Las medidas de centralización se relacionan también con medidas de compactación, dado que para muchas medidas, las redes más centralizadas tienden a su vez a ser las más compactas.
[1] Durante los años 1950 y 1960, algunos de los investigadores pioneros en este problema, en particular Leavitt (1951),Faucheux y Moscovici (1960) y Mackenzie (1966), se comenzaron a preocupar sobre cómo medir la centralización del grupo de actores como un todo.
[8][9] Posteriormente, en los años 1970,Nieminen (1974) y Freeman (1977) buscaron formalizar estas ideas previas, que proponían que las redes más centralizadas debían ser aquellas que tenían menos actores centrales (es decir, con alta centralidad individual) y más actores periféricos (con baja centralidad individual).
[1] Formalmente, una red social se puede representar como un grafo
actores, vértices o nodos, y
Freeman (1979) propuso una medida de centralización general, que se adapta a diversas medidas de centralidad clásicas como el grado, la cercanía y la intermediación.
es la mayor centralidad obtenida por algún nodo en el grafo
, corresponde a la suma de las diferencias entre el valor máximo y los demás valores observados, mientras que el denominador,
, corresponde a la máxima suma de las diferencias posible de obtener en teoría para algún grafo dado (que usualmente, no será para el mismo
Los valores son mayores en la medida que los actores más centrales de la red sean escasos.
Por lo tanto, esta medida general de centralización mide lo variables, heterogéneas o desiguales que son las centralidades de los actores para ciertas medidas de centralidad específicas.
, se obtiene: Note que el caso extremo del denominador se obtiene para un grafo estrella de
, la diferencia total del denominador resulta
Note también que así como el grafo estrella tiene centralización de grado
:[1] Dada una red social representada como un grafo simple no dirigido, el Lema del apretón de manos dice que la suma de los grados de los nodos es igual al doble del número de aristas, es decir,
) es un estadístico definido como el grado promedio de los nodos:[14] Como un grafo simple no dirigido tiene a lo más
De hecho, al no medir variabilidad entre valores de centralidad, para algunos investigadores y analistas no es considerada una medida de centralización propiamente tal.
Para grafos simples no dirigidos, formalmente se define como:[15] Al igual que con la centralización de grado de Freeman, si el grafo es regular, entonces
está en su versión normalizada, a saber, para un grafo simple,
periféricos.Freeman (1979) demuestra que ese denominador es el adecuado utilizando inducción matemática.
[1] Note que así como el grafo estrella tiene centralización de cercanía
, cualquier grafo en que las distancias entre cada par de actores es la misma, como por ejemplo un grafo completo, tendrá centralización de grado
Para grafos simples no dirigidos, formalmente se define como:[1] Al igual que con la centralización de cercanía de Freeman, si la distancia entre cada par de actores del grafo es la misma, entonces
Esta es una variación de la cercanía usada exclusivamente en grafos dirigidos, que en lugar de considerar los caminos desde un nodo, considera los caminos hacia los demás nodos accesibles por este.
) de esta medida pueden también considerarse medidas de centralización: Note que los valores de la media están entre 0, para un grafo vacío, y 1, para un grafo completo.
, se obtiene la versión más simplificada de Freeman (1977): Al igual que con las centralizaciones de grado y cercanía de Freeman, el caso extremo del denominador se obtiene para un grafo estrella de
Por lo tanto, se puede recurrir nuevamente a la varianza.
:[1] Note que para este caso no se puede aplicar una centralización de información de Freeman, ya que se desconoce un denominador apropiado para la medida.