El complemento de Schur lleva el nombre de Issai Schur, que lo utilizó para probar el Lema de Schur, aunque ya se había utilizado anteriormente.
[1] Emilie Haynsworth fue la primera en llamarlo "complemento de Schur".
La matriz del producto es Esto es análogo a una factorización LU.
Es decir, se ha demostrado que y el inverso de M se puede expresar como D−1 y el inverso del complemento de Schur (si existe) solo como Un lema sobre la inversión de matrices ilustra las relaciones entre lo anterior y la deducción equivalente con las posiciones de A y D intercambiadas.
El complemento de Schur surge naturalmente al resolver un sistema de ecuaciones lineales como donde x, a son vectores columna p dimensionales; y, b son vectores columna q dimensionales; y A, B, C, D son como los anteriores.
y luego restando de la ecuación superior, se obtiene Por lo tanto, si es posible invertir D y el complemento de Schur de D, se puede resolver x; y al usar la ecuación
Esto reduce el problema de invertir una matriz
En la práctica, se necesita que D esté bien condicionada para que este algoritmo sea numéricamente preciso.
Supóngase que los vectores columna aleatorios X, Y están definidos en Rn y Rm respectivamente, y el vector ( X,Y ) en Rn+m define una distribución normal multivariante cuya covarianza es la matriz simétrica positiva definida donde
es la matriz de covarianza entre X e Y.
Además, desde y de manera similar para las matrices semi-definidas positivas, la segunda declaración (y respectivamente la cuarta) es inmediata a partir de la primera declaración (o en su caso, de la tercera).