En matemáticas, se dice que una función de variables reales
definida en un conjunto abierto conexo
si y sólo si son respectivamente las partes reales e imaginarias de un función holomorfa
z := x + i y ∈
f ( z ) := u ( x , y ) + i v ( x , y )
Como primera consecuencia de la definición, ambas funciones son armónicas en
Además, si existe la conjugada de
esta es única salvo una constante aditiva.
Una definición equivalente es que,
si y sólo si satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann en
entonces las ecuaciones de Cauchy–Riemann son justamente la simetría de las segundas derivadas mixtas
, Por tanto, una función armónica
admite una armónica conjugada si y sólo si la función holomorfa
en cuyo caso una conjugada de
f ( x + i y ) .
Así que cualquier función armónica siempre admite un función conjugada siempre que su dominio sea simplemente conexo, y en cualquier caso admite un conjugado localmente en cualquier punto de su dominio.
Al operador que toma una función armónica en una región simplemente conexa y devuelve su armónica conjugadase le conoce como transformada de Hilbert y está relacionado con los operadores integrales singulares.
Una generalización son las transformadas de Bäcklund lineales; las cuales son de interés en el estudio de solitones y sistemas integrables.
Geométricamente las armónicas conjugadas tienen trayectorias ortogonales, fuera de los ceros de la función holomorfa subyacente; los contornos en qué u y v son constantes se cruzan en ángulos rectos.
A f también se le conoce como potencial complejo, donde u es la función potencial y v es la función de corriente.
Hay una ocurrencia adicional del término armónico conjugado en matemáticas, específicamente en geometría proyectiva.
Dos puntos A y B son armónicos conjugados con respecto a otro par de puntos C y D si la razón armónica es -1, es decir
{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}=-1}