En matemáticas, una función continua de Cauchy (o también función regular de Cauchy) es un tipo especial de función continua entre espacios métricos (o espacios más generales).
Las funciones continuas de Cauchy tienen la útil propiedad de que siempre pueden extenderse (exclusivamente) al espacio métrico completo de su dominio.
espacios métricos, y sea
está totalmente acotado, entonces toda función continua de Cauchy es uniformemente continua.
De manera más general, incluso si
no está totalmente acotado, una función en
es continua de Cauchy si y solo si es uniformemente continua en cada subconjunto totalmente acotado de
no está completo, siempre que
se puede extender a una función continua (y por lo tanto, continua de Cauchy) definida en el espacio métrico completo de
Dado que la recta real
está completa, las funciones continuas en
de los números racionales, las cosas son diferentes.
pero no es continua de Cauchy, ya que no se puede extender continuamente a
Por otro lado, cualquier función uniformemente continua en
debe ser continua de Cauchy.
Esta función no es uniformemente continua (en todo
), pero es continua de Cauchy (este ejemplo funciona igualmente bien en
es completo, entonces esto se puede extender a
La continuidad de Cauchy tiene sentido en situaciones más generales que los espacios métricos, pero entonces hay que pasar de sucesiones a redes (o equivalentemente filtros).
La definición anterior se aplica, siempre y cuando la sucesión de Cauchy
se reemplace con una red arbitraria.
De manera equivalente, una función
es continua de Cauchy si y solo si, dado cualquier espacio uniforme
Esta definición concuerda con lo anterior en espacios métricos, pero también funciona para espacios uniformes y, de manera más general, para un espacio de Cauchy.
puede convertirse en un espacio de Cauchy.
Luego, dado cualquier espacio
son las mismas que las funciones continuas de Cauchy desde
está completo, entonces la extensión de la función a
dará el valor del límite de la red.
Esto generaliza el ejemplo de sucesiones anterior, donde 0 debe interpretarse como