Coordenadas paraboloidales
tridimensionales que generalizan las coordenadas parabólicas bidimensionales.
Poseen paraboloides elípticos como superficies unidimensionales.
Como tales, deben distinguirse de las coordenadas cilíndricas parabólicas y de las coordenadas parabólicas rotationales, que también son generalizaciones de las coordenadas parabólicas bidimensionales.
A diferencia de las coordenadas parabólicas cilíndricas y rotacionales, pero de manera similar a las coordenadas elipsoidales, las superficies de coordenadas del sistema de coordenadas paraboloidales no se generan rotando o proyectando ningún sistema de coordenadas ortogonal bidimensional.
se pueden obtener a partir de las coordenadas elipsoidales
mediante las ecuaciones[1] con En consecuencia, las superficies de
constante son paraboloides elípticos que se abren hacia abajo: De manera similar, las superficies de
constante son paraboloides hiperbólicos: Los factores de escala para las coordenadas paraboloidales
son[2] Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es Los operadores diferenciales comunes se pueden expresar en las coordenadas
sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales para estos operadores, que son aplicables a cualquier coordenada ortogonal tridimensional.
Por ejemplo, el operador gradiente es y el operador laplaciano es Las coordenadas paraboloidales pueden ser útiles para resolver ciertas ecuaciones en derivadas parciales.
Por ejemplo, la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz son ambas separables en coordenadas paraboloidales.
Por lo tanto, las coordenadas se pueden utilizar para resolver estas ecuaciones en geometrías con simetría paraboloidal, es decir, con condiciones de contorno especificadas en secciones de paraboloides.
Siguiendo el enfoque anterior, se han utilizado coordenadas paraboloidales para resolver el comportamiento de un campo eléctrico generado por un paraboloide conductor.
