Cuadrilátero armónico

Sea ABCD un cuadrilátero armónico y M el punto medio de la diagonal AC.

A continuación se ilustran el caso general y dos casos sencillos: Dado un vétice no diametral, para calcular las coordenadas del segundo vértice no diametral, es necesario efectuar los cálculos siguientes: La condición de que se trate de un cuadrilátero armónico, es que coincida el producto de las longitudes de los lados opuestos.

, con los coeficientes que se resuelve mediante la fórmula: Una vez calculado

, se tiene que En la tabla siguiente se incluye el resultado obtenido a partir de fijar el primer vértice no diametral mediante intervalos de 5 en cinco grados del ángulo

Se puede comprobar que tanto el área como el perímetro máximos corresponden a la solución simétrica (incluida en la última fila de la tabla).

Se comprueba que todos estos vértices se sitúan sobre una elipse, cuyo centro coincide con el de la circunferencia, el semieje menor mide 1 y coincide con uno de los radios del diámetro que forma parte de los cuadriláteros, y cuyo semieje mayor vale

El segundo lado conecta uno de los extremos del lado anterior con el extremo de un radio perpendicular al diámetro en cuestión.

Las dimensiones de los dos lados restantes del cuadrilátero se calculan determinando el ángulo

que haga que se igualen los productos de las longitudes opuestas, es decir: elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y operando la expresión resultante se llega a: de donde se obtiene que elevando ambos términos al cuadrado, se tiene que de donde A partir de este ángulo, se tiene que

Las dimensiones de los otros tres lados del cuadrilátero se calculan determinando el ángulo