Curva en el espacio
También se le llama curva en tres dimensiones o en
Las dos maneras más utilizadas para representar una curva espacial son la forma cartesiana y la forma paramétrica.
Es posible representar una curva en forma implícita identificando su soporte con el lugar geométrico de los ceros de un campo vectorial
es que su jacobiano: tenga rango máximo, es decir que: Según el teorema de la función implícita existen en los entornos
tales que se cumple lo siguiente: para
Una curva en forma paramétrica es una función vectorial de una sola variable
del tipo:[1] También se puede escribir como: La variable
se denomina punto singular de la curva.
La regularidad de la curva permite definir la recta tangente a la curva, que es la recta paralela al vector: Este vector se denomina vector tangente de longitud
como que, sin considerar su signo, es la longitud del arco de la curva entre el punto fijo
se puede reparametrizar la curva de la siguiente manera: como
es creciente y por tanto invertible, de modo que, llamando a
su inversa, se establece que lo que se conoce como parametrización natural de la curva.
Una curva suficientemente regular en el espacio tiene en cada punto un sistema de referencia llamado triedro de Frenet, dado por una terna de vectores unitarios tangentes, normales y binormales.
Debe tenerse en cuenta que poder definir el triedro de Frenet en cada punto de la curva está subordinado al hecho de que la curva tiene un vector unitario tangente y normal en cada punto de la curva: por esta razón en adelante se habla del campo de los vectores unitarios tangentes y del campo de los vectores unitarios normales.
Además, la curva debe ser dos veces diferenciable y esta es una condición adicional no prevista en la definición anterior.
una curva parametrizada según la abscisa curvilínea.
El campo de vectores unitarios tangentes a la curva viene dado por: El campo unitario normal viene dado por: Explotando la definición de curvatura puede darse otra forma al campo de vectores unitarios normales: Dado que
también será constante, es decir expresión reescrita como: Desarrollando la ecuación, se obtiene: Es decir, el vector
El campo de vectores unitarios binormales se define como: La importancia del triedro de Frenet es que es un sistema de referencia ortonormal móvil, es decir, se ajusta a medida que se recorren distintos puntos
, el triedro de Frenet se mueve integrámente con
y siempre permanece como un sistema ortonormal.
Sus coeficientes son claramente cero en la diagonal principal, ya que su producto escalar es cero debido a la ortonormalidad de la base.
, formalmente el triedro de Frenet es igual y se puede calcular de la siguiente manera: Además, se obtienen las fórmulas de Frenet: a lo que se debe que, si por ejemplo
es el campo tangente de cualquier parametrización, entonces su derivada con respecto a
: y así sucesivamente para las otras dos fórmulas de Frenet.
Por tanto, una curva en el espacio está completamente definida por los dos parámetros de curvatura y de torsión.
la parametrización natural de una curva tres veces diferenciable.
Entonces, para cada punto se define el triedro de Frenet La curvatura y la torsión se obtienen de la forma siguiente: Sea
cualquier parametrización de una curva tres veces diferenciable.
