Robertson nació y creció en Malibú (California) en el seno de una familia aficionada a la música.
Su padre era científico investigador en el Laboratorio Hughes y su madre estudió literatura.
Tras finalizar sus estudios universitarios, comenzó a recibir ofertas de dirección en Europa y actuó a menudo tanto en el repertorio sinfónico como en el operístico.
De 1992 a 2000 fue director musical del Ensemble Intercontemporain (EIC) con sede en París, siendo el primer estadounidense en ocupar el cargo, ampliando el repertorio del EIC para incluir obras de compositores como John Adams.
Fue la primera persona en servir simultáneamente en ambas capacidades y el primer estadounidense en ser designado para cualquiera de los puestos.
Con la Orquesta Nacional de Lyon realizó una gira por los Estados Unidos en 2003, con conciertos en Nueva York, Seattle, Berkeley y Los Ángeles.
Durante su mandato, la SLSO hizo su primera aparición en The Proms en septiembre de 2012.
[17] Dirigió por primera vez como invitado a la Orquesta Sinfónica de Sídney en 2003.
Ha grabado para los sellos Sony Classical, Harmonia Mundi, Naïve, EMI/Virgin Classics, Atlantic/Erato, Nuema, Ades Valois, Naxos y Nonesuch, con la música de compositores como Adams, Bartók, Boulez, Carter, Dusapin, Dvořák, Ginastera, Lalo, Manoury, Milhaud, Reich, Saint-Saëns y Silvestrov.