Desigualdad lineal

[1]​ Una desigualdad lineal se parece exactamente a una ecuación lineal, con el signo de desigualdad reemplazando al signo de igualdad.

Las desigualdades lineales bidimensionales son expresiones en dos variables de la forma: donde las desigualdades pueden ser estrictas o no.

[nota 1]​ La línea que determina los semiplanos (ax + by = c) no se incluye en el conjunto de soluciones cuando la desigualdad es estricta.

Un procedimiento sencillo para determinar qué semiplano está en la solución ajustada es calcular el valor ax + by en un punto (x0, y0) que no está en la línea y observar si se cumple o no la desigualdad.

Por ejemplo,[2]​ para representar el conjunto de soluciones de x + 3y < 9, primero se dibuja la línea con la ecuación x + 3y = 9 como una línea de puntos, para indicar que la línea no está incluida en el conjunto de soluciones ya que la desigualdad es estricta.

Luego, se elige un punto conveniente que no esté en la línea, como (0,0).

Puesto que 0 + 3 (0) = 0 < 9, este punto se encuentra en el conjunto de soluciones, por lo que el semiplano que contiene este punto (el semiplano por "debajo" de la línea) es el conjunto de soluciones de esta desigualdad lineal.

En Rn las desigualdades lineales son las expresiones que se pueden escribir en la forma donde f es una forma lineal,

y b un número real constante.

Más concretamente, esto puede expresarse como: o Donde

Alternativamente, también pueden expresarse como: donde g es una función afín.

Un sistema de desigualdades lineales es un conjunto de desigualdades lineales en las mismas variables: Donde

los coeficientes del sistema y

Esto puede expresarse como una desigualdad en forma de matriz: donde A es una matriz m×n, x es un vector columna de n×1 variables, y b es un vector columna de m×1 constantes.

El conjunto de soluciones de una desigualdad lineal real constituye un semiespacio del espacio real 'n'-dimensional, uno de los dos definidos por la correspondiente ecuación lineal.

En los casos no degenerados, este conjunto convexo es un poliedro convexo (posiblemente sin límites, por ejemplo, un semiespacio, una porción entre dos semiespacios paralelos o un cono poliédrico).

También puede estar vacío o ser un poliedro convexo de dimensión inferior confinado a un subespacio afín del espacio 'n'-dimensional Rn.

Un problema de programación lineal busca optimizar (encontrar un valor máximo o mínimo) de una función (llamada función objetiva) sujeta a una serie de restricciones sobre las variables que, en general, son desigualdades lineales.

La definición anterior requiere operaciones bien definidas de suma, multiplicación y comparación; por lo tanto, la noción de desigualdad lineal puede extenderse a los anillos ordenados, y en particular a los cuerpos ordenados.

Las generalizaciones de este tipo son solo de interés teórico hasta que se hace evidente una aplicación para ellas.