Desplazamiento cuadrático medio
En mecánica estadística, el desplazamiento cuadrático medio (MSD, por sus siglas en inglés) es la medida más común de la difusión de partículas con movimiento aleatorio; se puede visualizar como la cantidad de un sistema «explorado» por un caminante que sigue un recorrido aleatorio.
Aparece prominentemente en el factor de Debye-Waller, que describe vibraciones dentro del estado sólido, y en la ecuación de Langevin para caracterizar la difusión de una partícula browniana.
Einstein utilizó este método para describir las partículas brownianas.
La ecuación de Langevin es otro método para describir el movimiento browniano.
es la posición de la partícula a un tiempo dado,
es la posición inicial de la partícula, y
es el coeficiente de difusión con unidades en el S.I
La barra en el argumento de la probabilidad instantánea denota la probabilidad condicionada.
Se puede mostrar que la función de densidad de probabilidad en una dimensión es Esto quiere decir que la probabilidad de encontrar la partícula en
sigue una distribución gaussiana, con un ancho dependiente del tiempo.
Más específicamente la anchura a media altura (FWHM) es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo Utilizando la función de densidad de probabilidad, es posible derivar la media de una función dada,
donde la media está tomada sobre todo el espacio.
El desplazamiento cuadrático medio está definido como expandiendo el promedio tenemos: eliminando la notación de dependencia explícita del tiempo por simplicidad.
Existen dos modos de calcular el MSD: En el segundo método, para determinar la función que genera momento es conveniente introducir la función característica: se puede expandir la exponencial en la ecuación anterior para obtener: Tomando el logaritmo natural de la función característica, se llega a una función nueva dónde
donde el segundo cumulante es la varianza,
Con estas definiciones uno puede investigar los momentos de la función de densidad de probabilidad de una partícula browniana, completando el cuadrado y conociendo el área total bajo una Gaussiana se obtiene: Tomando el logaritmo natural, y comparando los exponentes del
con la función generadora de cumulantes, el primer cumulante es lo que simplemente quiere decir la posición promedio es el centro Gaussiano.
El segundo cumulante es El factor 2 proviene del factorial en el denominador de función generadora de cumulantes.
Este segundo cumulante permite calcular el segundo momento: combinando los resultados para primer y el segundo momento, se llega a la expresión para el MSD:
