En estadística, la desviación (del inglés deviance) es un estadístico para comprobar la bondad de ajuste para un modelo estadístico mediante contrastes de hipótesis.
Es especialmente usado en los modelos de dispersión exponencial y los modelos lineales generalizados, en los que el ajuste se realiza por máxima verosimilitud en vez de por mínimos cuadrados ordinarios.
un modelo lineal generalizado dado por
{\displaystyle g(\mathbb {E} ({\boldsymbol {y}}))={\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {\beta }}_{0}}
La intención de la desviación es determinar la bondad de ajuste, es decir, cuán bien explica el modelo propuesto la distribución de las observaciones.
La forma de hacerlo es comparándolo con el modelo saturado, aquel que tiene un parámetro para cada observación y por tanto ofrece el mejor ajuste posible a las observaciones, es decir,
de que el modelo propuesto
explica tan bien las observaciones como el modelo saturado y para contrastarla se usa un estadístico de razón de verosimilitudes: si
s a t
el supremo de la función de verosimimilitud para el modelo saturado, definimos
s a t
Se define entonces la desviación de
s a t
{\displaystyle D({\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {\hat {\mu }}}_{0})=-2\log \Lambda =2(L_{sat}-L_{0})}
s a t
s a t
[1] Para algunos modelos lineales generalizados y bajo ciertas condiciones[2][3] el estadístico de desviación tiene distribución asintótica chi cuadrado
con grados de libertad la diferencia en el número de parámetros entre los dos modelos, que es
(el número de observaciones) para el saturado y
Esto se cumple, por ejemplo, para los modelos binomiales con datos agrupados
se toma como la proporción de éxitos en el grupo
son grandes y ninguna probabilidad estimada se acerca a 0 o 1, y para los modelos Poisson, cuando los valores estimados son razonablemente grandes, mayores que 2 o 3.
A través de la desviación se pueden comparar dos modelos encajados
para ver si el modelo más general
produce una mejora significativa en el ajuste respecto al modelo más restringido
El modelo más simple (con menos parámetros) siempre tiene una desviación mayor, esto es así porque el espacio paramétrico de
ya que están engajados, de manera que para las verosimilitudes maximizadas
s a t
Se puede considerar como estadístico de contraste la diferencia de desviaciones
, que bajo ciertas condiciones se distribuye asintóticamente como una