Doble producto vectorial

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión

{\displaystyle \,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} }

; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:

{\displaystyle \,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)-\mathbf {C} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)}

demostrada más adelante.

{\displaystyle \,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =-\mathbf {C} \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {A} }

está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.

Cuand Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

i j k

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física.

Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es: Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores.

Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A.

Entonces, se puede descomponer al vector

en una componente paralela a B y otra paralela a C. (1)

{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} x+\mathbf {C} y\quad x,y\in \mathbb {R} \quad }

Para facilitar la demostración primero se supondrá

; luego la fórmula se ampliará de forma general.

Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1): Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares): El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera: Igualando las expresiones anteriores se tiene: (2)

da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura).

Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos: Como

es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera: Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con (2).

Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en (1) el producto escalar por el vector C: En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen.

Esto implica: Reemplazamos x e y en (1) y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares.

Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C. Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (*): De modo que se puede desarrollar de esta manera: Ahora, tenemos

Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.

Esta última identidad coincide con (*) y vale para cualquiera sean A, B y C.