Es conocido por haber intentado incorporar Tahití al Imperio español.
El 26 de septiembre de 1772 zarpó en una fragata llamada Santa María Magdalena, alias el Águila, desde el puerto de El Callao en el Perú con Tomás Gayangos como su lugarteniente, en una misión de exploración a Tahití.
Durante su estancia en la isla prohibió mantener relaciones con las mujeres locales.
Preparó otra expedición bajo los auspicios del rey Carlos III para evangelizar a sus habitantes.
En éste segundo viaje Bonechea halló, nombró y cartografió nueve islas entre el archipiélago de la Sociedad y el de Tuamotu.