Su hermano Martin Kuciak también es futbolista y juega como guardameta.
Después de un período de dos años en Trenčín, regresó al Žilina, donde llegó como portero suplente, ya que el arquero titular era Ján Mucha.
A pesar de no jugar en absoluto, se vinculó al club West Ham United de la Premier League inglesa, donde fue cedido por 6 meses.
En enero de 2006, regresó al Žilina y se estableció como portero titular.
Jugó en el Legia de Varsovia desde 2011 hasta 2016, obteniendo 5 títulos.