La ecuación de Batchelor-Chandrasekhar es la ecuación de evolución para las funciones escalares, que define el tensor de correlación de velocidad de dos puntos de una turbulencia axisimétrica homogénea, llamada así por George Batchelor y Subrahmanyan Chandrasekhar.
[1][2][3][4] Desarrollaron la teoría de la turbulencia asimétrica axial a partir del trabajo de Howard P. Robertson sobre la turbulencia isotrópica utilizando un principio invariante.
[5] Esta ecuación es una extensión de la ecuación de Kármán-Howarth de la turbulencia isotrópica con simetría axial.
La teoría se basa en el principio de que las propiedades estadísticas son invariantes para las rotaciones en una dirección particular y para las reflexiones en planos que contienen
Este tipo de asimetría de eje se denomina a veces simetría de eje fuerte o simetría de eje en sentido fuerte, opuesta a la asimetría de eje débil, donde las reflexiones en planos perpendiculares a
o planos que contienen
no están permitidas.
[6] La correlación de dos puntos para una turbulencia homogénea debe ser: Una sola función escalar describe este tensor de correlación en la turbulencia isotrópica, mientras que en el caso de la turbulencia axisimétrica, son suficientes dos funciones escalares para especificar de forma única el tensor de correlación.
De hecho, Batchelor fue incapaz de expresar el tensor de correlación en términos de dos funciones escalares, pero terminó con cuatro funciones escalares; sin embargo, Chandrasekhar demostró que podía expresarse con solo dos funciones escalares expresando el tensor solenoide axisimetrico como el rizo de un tensor de inclinación axisimétrica general (tensor no invariable de reflexión).
Si se deja que
sea el vector unitario que define el eje de simetría del flujo, entonces se tienen dos variables escalares,
representa el coseno del ángulo entre
Si se deja que
sean las dos funciones escalares que describen la función de correlación, entonces el tensor axisimétrico más general que es solenoidal (incompresible) viene dado por donde Los operadores diferenciales que aparecen en las expresiones anteriores se definen como Entonces las ecuaciones de evolución, forma equivalente de la ecuación de Kármán-Howarth, para las dos funciones escalares están dadas por donde
es la viscosidad cinemática y Las funciones escalares
están relacionadas con el tensor triplemente correlacionado
, exactamente de la misma manera que
están relacionadas con el tensor de dos puntos correlacionado
El tensor triplemente correlacionado es Aquí
Durante el decaimiento, si se desprecian los escalares de triple correlación, entonces las ecuaciones se reducen a ecuaciones del mismo tipo que las ecuaciones del calor de cinco dimensiones simétricas axialmente, Las soluciones a estas ecuaciones del calor de cinco dimensiones fueron resueltas por Chandrasekhar.
son los polinomios de Gegenbauer.
las soluciones se vuelven independientes de