En la dinámica de gases, la ecuación de Chaplygin, llamada así por Sergei Alekseevich Chaplygin (1902), es una ecuación en derivadas parciales útil en el estudio del flujo transónico .
es la velocidad del sonido determinada por la ecuación de estado del fluido y la conservación de la energía.
Para el flujo potencial bidimensional, las ecuaciones de continuidad y las ecuaciones de Euler, de hecho, es la ecuación compresible de Bernoulli debido a la irrotacionalidad, en coordenadas cartesianas
( x , y )
{\displaystyle (x,y)}
que involucra las variables velocidad de fluido
{\displaystyle (v_{x},v_{y})}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}}
con la ecuación de estado
actuando como tercera ecuación.
donde Para el flujo isoentrópico, la densidad puede expresarse como una función sólo de la entalpía, que a su vez, usando la ecuación de Bernoulli, puede escribirse como
Dado que el flujo es irrotacional, existe un potencial de velocidad
y su diferencial es
{\displaystyle d\phi =v_{x}dx+v_{y}dy}
En lugar de tratar
( x , y )
( x , y )
como variables dependientes, usamos una transformación de coordenadas de tal manera
{\displaystyle x=x(v_{x},v_{y})}
{\displaystyle y=y(v_{x},v_{y})}
se convierten en nuevas variables dependientes.
De manera similar, el potencial de velocidad es reemplazado por una nueva función, la Transformada de Legendre tal que su diferencial es
, por lo tanto Introduciendo otra transformación de coordenadas para las variables de
de acuerdo con la relación
= v cos θ
es la magnitud del vector de velocidad y
es el ángulo que el vector de velocidad hace con el
-axis, las variables dependientes se convierten en La ecuación de continuidad en las nuevas coordenadas se convierte en: Para un flujo isentrópico tal que
es la velocidad del sonido.
Usando la ecuación de Bernoulli se tiene: donde