Su primer contacto con la música tuvo lugar en el colegio, donde aprendió a tocar la flauta y la balalaika.
Más tarde, su padre le compró un piano y Eduard fue pronto conocido por sus interpretaciones, a menudo acompañado por un violinista.
En uno de ellos conoció a Zoltán Kodály, quien le transmitió su interés en las canciones folclóricas.
Al principio, tuvo que aceptar cualquier trabajo que se le presentase, si bien -debido al elevado número de estonios residentes en Suecia- ello equivalía a menudo a dirigir coros de exiliados.
Tubin fue también un notable orquestador, lo que puede comprobarse particularmente en sus Tercera y Cuarta Sinfonías.