Energía de Dirichlet

Más abstractamente, es un funcional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev

La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

denota el gradiente del campo vectorial de la función

Puesto que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet no es una cantidad negativa, i.e.

Resolver la ecuación de Laplace (sujeta a las apropiadas condiciones de frontera) es equivalente a resolver el problema de variaciones de encontrar una función

que satisfaga las condiciones de contorno y tenga la mínima energía de Dirichlet.

Tal solución es llamada función armónica y esas soluciones son el tema de estudio de la teoría del potencial.