Entropía de von Neumann
Recibe su nombre de John von Neumann.
denota el logaritmo natural de matrices.
,... como entonces la entropía de von Neumann es simplemente[1] En esta forma,
La matriz densidad fue introducida, con motivaciones diferentes, por von Neumann y por Lev Landáu.
[3] Por otro lado, von Neumann introdujo la matriz densidad para desarrollar la mecánica estadística cuántica y la teoría de mediciones cuánticas.
El formalismo de la matriz densidad se desarrolló para extender las herramientas de mecánica estadística clásica al ámbito cuántico.
En el marco clásico se calcula la función de partición del sistema para evaluar todas cantidades termodinámicas posibles.
Von Neumann introdujo la matriz densidad en el contexto de estados y operadores en un espacio de Hilbert.
El conocimiento de la matriz densidad serviría para poder calcular todos los valores esperados de una manera conceptualmente similar, pero matemáticamente diferente.
La variable natural es la amplitud con la que una función de ondas particular del conjunto participa en la función de ondas del sistema.
Denotando el cuadrado de esta amplitud por
, el objetivo es convertir esta cantidad p a la función de densidad clásica en el espacio de fases clásico.
es una constante del movimiento, suponer la ergodicidad hace que p dependa solo de la energía.
Después de este procedimiento, finalmente se llega al formalismo de la matriz densidad al buscar una forma en la que
sea invariante con respecto a la representación utilizada.
En la forma en la que está escrita, solo se obtienen los valores esperados correctos para cantidades que sean diagonales con respecto a los números cuánticos
ahora le corresponde a la matriz densidad Por tanto,
Se ha establecido una formulación matemática en la que los valores esperados se obtienen como la traza del operador de densidad
es una matriz hermítica semidefinida positiva con traza unidad.
) y la entropía de Shannon al caso cuántico.
En este caso, la entropía de von Neumann está dada por Como para un estado puro, la matriz densidad es idempotente,
Así, si el sistema es de dimensión finita, la entropía
cuantifica la diferencia del sistema con respecto de un estado puro.
En otras palabras, codifica el grado de mezcla de los estados puros que describen un sistema finito dado.
La medición crea decoherencia en un sistema cuántico y lo "hace más clásico"; así, por ejemplo, la entropía nula de un estado puro
, al que corresponde una matriz densidad aumenta hasta
para la mezcla resultante de la medida ya que la información sobre interferencia cuántica se borra en el proceso de medición.
Fueron probadas en 1970 por Huzihiro Araki y Elliott H.
Intuitivamente, esto se puede entender así: En mecánica cuántica, la entropía del sistema conjunto puede ser menor que la suma de la entropía de sus componentes porque los componentes pueden estar entrelazados.
Si los sistema A y B tiene cantidades diferentes de entropía, la menor solo se puede compensar parcialmente con la mayor, y queda alguna entropía residual.
