En física, los espacios-tiempo esféricamente simétricos se usan comúnmente para obtener soluciones analíticas y numéricas a las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de polvo en movimiento radial, fluidos compresibles o incompresibles (como materia oscura ) o bariones (hidrógeno).
Debido a que los espacios-tiempo esféricamente simétricos son, por definición, irrotacionales, no son modelos realistas de agujeros negros en la naturaleza.
Sin embargo, sus métricas son considerablemente más simples que las de los tiempos espaciales rotativos, lo que las hace mucho más fáciles de analizar.
Los modelos esféricamente simétricos no son del todo inapropiados: muchos de ellos tienen diagramas de Penrose similares a los de los tiempos espaciales rotativos, y estos típicamente tienen características cualitativas (como los horizontes de Cauchy) que no se ven afectados por la rotación.
Un espacio-tiempo con simetría esférica es un espacio-tiempo cuyo grupo de isometría contiene un subgrupo que es isomorfo al grupo de rotación SO(3) y las órbitas de este grupo son 2-esferas (ordinarias esferas dos-dimensionales en espacio euclidiano de tres dimensiones).
Las isometrías se interpretan entonces como rotaciones y un espacio-tiempo esféricamente simétrico se describe a menudo como aquel cuya métrica es "invariante bajo rotaciones".
Convencionalmente, la métrica en la esfera 2 se escribe en coordenadas polares como: y entonces la métrica completa incluye un término proporcional a esto.
Un espacio-tiempo esféricamente simétrico se puede caracterizar de otra manera mediante el uso de la noción de campos vectoriales Killing, que, en un sentido muy preciso, preservan la métrica.
Las isometrías mencionadas anteriormente son en realidad difeomorfismos de flujo local de los campos vectoriales de Killing y, por lo tanto, generan estos campos vectoriales.
En general, ninguno de estos es similar al tiempo, ya que eso implicaría un espacio-tiempo estático.
Esto significa que la región exterior alrededor de un objeto gravitante esféricamente simétrico debe ser estática y asintóticamente plana .
Son posibles varios gráficos de coordenadas ; éstos incluyen: Una métrica popular,[1] utilizada en el estudio de la inflación masiva, es Aquí,
se define para que sea el radio circunferencial, es decir, para que la circunferencia adecuada en el radio
En esta elección de coordenadas, el parámetro
es la tasa de cambio adecuada del radio circunferencial (es decir, donde
puede interpretarse como la derivada radial del radio circunferencial en un marco de caída libre; esto se hace explícito en el formalismo de la tétrada.
Tenga en cuenta que la métrica anterior se escribe como una suma de cuadrados y, por lo tanto, puede entenderse que codifica explícitamente un vierbein y, en particular, una tétrada ortonormal.
La convención aquí y en lo que sigue es que los índices romanos se refieren al marco de tétrada ortonormal plano, mientras que los índices griegos se refieren al marco de coordenadas.
El vierbein inverso se puede leer directamente de la métrica anterior como donde se tomó la firma para ser
el cual es el tiempo apropiado en el marco de descanso, y
que es la derivada radial en ese marco.
fue la tasa de cambio adecuada del radio circunferencial; esto ahora se puede escribir explícitamente como Del mismo modo, uno tiene que describe el gradiente (en el marco de tétrada de caída libre) del radio circunferencial a lo largo de la dirección radial.
Esto no está en unidad general; compárese, por ejemplo, con la solución estándar de Swarschild, o la solución Reissner-Nordström.
determina efectivamente "en qué dirección está abajo"; el signo de
distingue tramas entrantes y salientes, de modo que
Estas dos relaciones en el radio circunferencial proporcionan otra razón por la cual esta parametrización particular de la métrica es conveniente: tiene una caracterización intuitiva simple.
en el marco de la tétrada, que están dados por y todos los demás cero.
[1] Las ecuaciones de Einstein se convierten en: dónde
es la derivada del tiempo covariante (y
es la masa de Misner-Thorne o masa interior, dada por Como estas ecuaciones son efectivamente bidimensionales, pueden resolverse sin dificultad abrumadora para una variedad de suposiciones sobre la naturaleza del material que cae (es decir, por la suposición de un agujero negro esféricamente simétrico que acumula polvo cargado o neutro, gas, plasma u materia oscura, de alta o baja temperatura, es decir, material con varias ecuaciones de estado.)