Espacio contráctil

La noción de espacio contráctil o contractible es muy importante en topología algebraica, ya que representa la clase más sencilla de espacios desde el punto de vista de la homotopía.

es contráctil si tiene el tipo de homotopía de un punto, es decir, si existe una equivalencia homotópica entre el espacio

[3]​Esto significa, por definición, que existan dos funciones continuas de

y viceversa que compuestas sean homótopas a la identidad de cada espacio.

En un espacio topológico contráctil

o contractible la aplicación identidad

es homótopa a alguna aplicación constante

c ( x ) = p

Intuitivamente, un espacio contráctil puede ser deformado continuamente hasta convertirlo en un punto.

[4]​ [5]​ [6]​ De hecho, esta propiedad es equivalente a la definición y se puede tomar como definición alternativa, como se demuestra a continuación.

es contráctil si es homotópicamente equivalente a un conjunto

Esto significa que existan dos funciones continuas

denota la relación de homotopía.

En este caso, se tiene que la identidad de

es homótopa a una constante.

es una aplicación constante igual a

{\displaystyle \operatorname {id} _{X}\sim g\circ f}

El recíproco también es cierto: si la identidad de

es homotópicamente equivalente a un punto.

Para ver esto último tenemos que construir dos funciones continuas

sólo puede ser la constante igual a

g ( q ) = p ∈

{\displaystyle g(q)=p\in X}

, que es, por hipótesis, homótopa a la identidad de

Con esto tenemos todo lo que queríamos.

En conclusión, tenemos dos formas equivalentes de definir espacio contráctil: Un espacio contráctil

verifica las siguientes propiedades: Construimos un camino de

Simétricamente, podremos construir un camino de

Concatenando el primero y este último obtenemos un camino (continuo por el lema del pegado) de

, que es continuo por serlo