En otras palabras, Lr es un espacio intermedio entre Lp y Lq.
interpolación real,[2] así como otras herramientas (véase, por ejemplo, cálculo fraccional).
Depende de manera esencial de la posición relativa específica que ocupan X0 y X1 en un espacio mayor Z. Se pueden definir normas sobre X0 ∩ X1 y X0 + X1 mediante Equipadas con estas normas, la intersección y la suma son espacios de Banach.
Las siguientes inclusiones son todas continuas: La interpolación estudia la familia de espacios X que son espacios intermedios entre X0 y X1 en el sentido de que donde las dos aplicaciones de inclusión son continuas.
Se dice que el par de interpolación (X, Y) es de exponente θ (con 0 < θ < 1) si existe una constante C tal que para todos los operadores L como se indica arriba.
Si C = 1, se dice que (X, Y) es un 'par de interpolación exacto del exponente θ.
Si los escalares son números complejos, las propiedades de las funciones analíticas complejas se utilizan para definir un espacio de interpolación.
Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema de Riesz-Thorin.
Un ejemplo importante es el de la pareja (L1(R, Σ, μ), L∞(R, Σ, μ)), donde el funcional K(t, f ; L1, L∞) se puede calcular explícitamente.
Un vector x en X0 + X1 pertenece al espacio de interpolación Jθ,q(X0, X1) si y solo si se puede escribir como donde v(t) es medible con valores en X0 ∩ X1 y tal que La norma de x en Jθ,q(X0, X1) viene dada por la fórmula Los dos métodos de interpolación real son equivalentes cuando 0 < θ < 1.
[10] El teorema cubre casos degenerados que no han sido excluidos: por ejemplo, si X0 y X1 forman una suma directa, entonces la intersección y los espacios J son el espacio nulo, y un cálculo simple muestra que los espacios K también son nulos.
La notación para este espacio de interpolación real es (X0, X1)θ,q.
Esto se debe a que el K-funcional K(f, t; X0, X1) de esta pareja es equivalente a Aquí solo son interesantes los valores 0 < t < 1.
[13] Suponiendo que 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞, se tiene: con normas equivalentes.
Esto se deduce de la desigualdad de Hardy y del valor dado anteriormente del K-funcional para esta pareja compatible.
También existe un teorema de reiteración para el método complejo.
La condición de densidad siempre se cumple cuando X0 ⊂ X1 o X1 ⊂ X0.
En este caso, la aplicación de restricción del dual (continuo)
Para el método de interpolación complejo, se cumple el siguiente resultado de dualidad: En general, el dual del espacio (X0, X1)θ es igual[17] a
[18] El θ superior y el θ inferior de los distintos métodos no coinciden en general, pero sí si al menos uno de los dos espacios X0, X1 es reflexivo.
[19] Para el método de interpolación real, la dualidad se cumple siempre que el parámetro q sea finito: Dado que la función t → K(x, t) varía regularmente (está aumentando, pero 1/tK(x, t) está disminuyendo), la definición de la norma Kθ,q de un vector n, previamente dada por una integral, es equivalente a una definición dada por una serie.
[21] Esta serie se obtiene rompiendo (0, ∞) en pedazos (2n, 2n+1) de igual tamaño para la medida dt/t, En el caso especial en el que X0 está embebido continuamente en X1, se puede omitir la parte de la serie con índices negativos n. En este caso, cada una de las funciones x → K(x, 2n; X0, X1) define una norma equivalente en X1.
La definición discreta facilita el estudio de varias cuestiones, entre las que destaca la ya mencionada identificación del dual.
Lions y Peetre han demostrado que: Davis, Figiel, Johnson y Pełczyński utilizaron la interpolación en su demostración del siguiente resultado: El espacio ℓ q usado para la definición discreta se puede reemplazar por un espacio secuencial Y arbitrario con bases incondicionales, y los pesos an = 2−θn, bn = 2(1−θ)n, que se usan para la norma Kθ,q, se pueden reemplazar por pesos generales El espacio de interpolación K(X0, X1, Y, {an}, {bn}) consta de los vectores x en X0 + X1 tales que[24] donde {yn} es la base incondicional de Y.
Este método abstracto se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar el siguiente resultado: Teorema:[25] Un espacio de Banach con base incondicional es isomorfo a un subespacio complementado de un espacio con bases simétricas.