Espacio maximalmente simétrico

Un espacio maximalmente simétrico (EMS) es un espacio métrico en el que puede definirse el concepto de dimensión y donde el grupo de simetría tiene la dimensión máxima posible.

Si se considera un espacio métrico real de dimensión d la dimensión máxima posible del grupo de isometría, que es un grupo de Lie, resulta ser d(d+1)/2.

En el espacio euclídeo el grupo de traslaciones tiene dimensión d y el de rotaciones tiene dimensión:

La combinación de traslaciones, rotaciones y simetría especulares y de inversión varias da el grupo de isometría del espacio que por tanto tiene dimensión:

El grupo de isometría del espacio euclídeo admite el siguiente isomorfismo:

Los espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresión:

i j k l

{\displaystyle R_{ijkl}=C(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})\,}

es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas cualesquiera.

En tensor de Ricci

son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura:

La geometría hiperbólica y la geometría elíptica (además de la geometría euclídea) son casos particulares de geometrías riemannianas uniformes que son maximalmente simétricas.

Para las geometrías hiperbólica y elíptica existe un parámetro llamado "radio" R relacionado con el valor no nulo de C mediante la relación:

escogiendo el sistema de unidades adecuadamente puede obtenerse |R| = 1 y por tanto |C| = 1.

En el caso de la geometría elíptica R coincide con el radio de la n-esfera que se use como modelo de geometría elíptica.

Los grupos de isometría de los espacios maximalmente simétricos de curvatura positiva y negativa son:

{\displaystyle {\mathcal {I}}(\mathbb {S} ^{d})\approx {\mbox{O}}(d+1),\qquad {\mathcal {I}}(\mathbb {H} ^{d})\approx {\mbox{O}}_{+}(d,1)}