Un espinor de Weyl o espinor relativista es un tipo de espinor, elemento de un espacio vectorial
dotado de una forma simpléctica que le da estructura de variedad simpléctica lineal, usado para representar de manera matemáticamente conveniente cuadrivectores del espacio-tiempo de Minkowski de cuatro dimensiones.
Deben su nombre al matemático alemán Hermann Weyl, que los investigó a principios de siglo XX.
Los espinores de Weyl generalizan a los espinores de Pauli.
Existe una correspondencia cuadrivectores y ciertas matrices hermíticas expresables como combinación de matrices de Pauli y la identidad.
Para construir dicha relación primero representamos cuadrivectores
= ( c t , x , y , z )
como matrices, de la siguiente forma:[1]
= ( c t , x , y , z ) ↦
x − y i
x + y i
Formalmente esta matriz es un elemento del álgebra de Lie del grupo SL(2,C) que es un espacio vectorial real de dimensión 6, por tanto, isomorofo al espacio
Denominaremos a las matrices de esta última forma que sí representan puntos del espacio-tiempo de Minkowski como "cuadrivectores de Weyl".
Lo interesante de esta forma de representar los cuadrivectores como "cuadrivectores de Weyl" o matirces de sl(2,C), es que las transformaciones de Lorentz propias admiten una representación más simple en términos de estas matrices.
Consideremos una transformación de Lorentz del SO(1,3),
y consideremos su actuación sobre el cuadrivector
Resulta que se puede alguna matriz
tal que el resultado de la rotación puede calcularse como:
x − y i
De hecho, puesto que SL(2,C) es el grupo topológico que es el recubridor universal de SO(3,1), siendo como espacio recubridor un espacio que recubre dos veces la matriz
no es única, de hecho tanto
Otra propiedad notoria es que el determinante de la matriz que representa a un cuadrivector, coincide numéricamente con la pseudonorma del cuadrivector:
está formado por pares de números complejos
cuya forma simpléctica se define como:
El producto tensorial de dos espinores se transforma como un cuadrivector, es decir, la combinación:
Nótese que cualquier "cuadrivector isótropo" o "de tipo luz" (con
) se puede expresar como producto de dos espinores de Weyl que tienen componentes iguales a
Igualmente se puede demostrar que ciertos productos con un número par de espinores de Weyl dan lugar a una mangitud que bajo transformaciones de Lorentz se transforma como una magnitud tensorial ordinaria.
Sin embargo, los productos de un número impar de espinores de Weyl, son propiamente magnitudes espinoriales, y por tanto, bajo una rotación
alrededor de un eje fijo cambian de signo y, por tanto, no pueden ser interpretados como magnitudes tensoriales.