En los campos matemáticos de la geometría y de la topología, una estructura gruesa en un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de espacios métricos y de espacios topológicos.
El objeto de estudio tradicional de la geometría y de la topología es la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos, o entornos, son en sí mismas abiertas.
Las propiedades a gran escala de un espacio, como el carácter de acotado o los grados de libertad del espacio, no dependen de dichas características.
La geometría gruesa y la topología gruesa proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio, y así como una métrica o una topología contienen información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura gruesa contiene información sobre sus propiedades a gran escala.
Más concretamente, una estructura gruesa no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme.
(por lo tanto, cae bajo la categorización más general de relación binaria en
) llamados conjuntos controlados, y para que
posea la relación identidad, se cierra tomando subconjuntos, inversos y finitos.
sindicatos, y está cerrado bajo la composición de relaciones.
dotado de una estructura gruesa
Se define la sección de
Estas son formas de proyecciones.
Se dice que un subconjunto
esté controlado es negligible, mientras que una función
tal que su grafo esté controlado está "cerca" de la identidad.
En la estructura gruesa acotada, estos conjuntos son los conjuntos acotados, y las funciones son las que están a una distancia finita de la identidad en métrica uniforme.
se dice que las aplicaciones
es una aplicación gruesa si para cada conjunto acotado
esté cerca de
esté cerca de
Con esta estructura, el retículo entero
es aproximadamente equivalente al espacio euclídeo
Un espacio así equivale aproximadamente a un punto.
Un espacio métrico con la estructura gruesa acotada está acotado (como un espacio grueso) si y solo si está acotado (como un espacio métrico).
es la colección de todos los subconjuntos
d ( x , y ) < ε
Alternativamente, la colección de todos los subconjuntos
: d ( x , y ) ≥ ε }
que contienen solo un número finito de puntos
son relativamente compactos siempre que