En teoría de números, la fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona una fórmula para la factorización en primos del factorial, donde n ≥ 1 es un número entero.
L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendre[1]y también se la conoce por esto como fórmula de Legendre.
En concreto, la fórmula da una expresión para encontrar con qué exponente contribuye cada primo menor que
a la factorización de
y, por tanto, la descomposición en factores primos de
Sea n ≥ 1 un entero.
como un producto de números primos factorizándolo.
Obtenemos pues que
que contribuyen con exponentes
en la descomposición en factores primos de
Claramente, los primos de la descomposición deben ser menores que
(pues deben dividir a algún número menor que
por definición de factorial).
La fórmula de Legendre nos da entonces una fórmula explícita para calcular estos exponentes (y, por tanto, toda la descomposición).
Concretamente, afirma que donde los corchetes representan la función piso.
Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se tiene que: que permite calcular más sencillamente los términos sp(n!).
[cita requerida] Para n=6, se tiene que
, se pueden calcular también con la fórmula de Legendre:
es el producto de los enteros entre
, obtenemos por lo menos un factor
dista del siguiente una distancia
contribuye con dos factores (y no uno) de
con tres factores de
Por el mismo argumento anterior, en
Así, si sumamos uno por cada múltiplo de
(o lo que es lo mismo, el número de múltiplos de
), uno más por cada número que sea también múltiplo de
), uno más por cada número que sea también múltiplo de
), etcétera, obtenemos el número de factores
, pero esto es lo que enuncia la fórmula de Legendre.