Fórmula de Herón

En geometría plana elemental la fórmula de Herón, cuya invención se atribuye al matemático griego Herón de Alejandría,[1]​ da el área de un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados a, b y c: donde s es el semiperímetro del triángulo: Cualquier polígono simple puede ser separado en triángulos que a lo más tienen un lado común o un vértice común, mediante diagonales que parten de un único vértice apropiado.

Esta subdivisión y la aplicación de la norma herodiana para el área triangular, facilita el cálculo del área de la región plana encerrada por el polígono simple, con solo medir longitudes, allí radica su importancia.

El hallazgo de la fórmula se ha atribuido a Herón de Alejandría, y se puede encontrar una prueba en su libro, Métrica, escrito en el año 60 d. C. Se ha presumido que el físico matemático griego, Arquímedes, haya conocido la fórmula, dos siglos antes; y que lo puesto en Métrica es una colección de los conocimientos matemáticos disponibles en el mundo antiguo, es posible que la norma areal preceda a la referencia que figura en el tratado heroniano.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro Métrica), podría ser la siguiente: Sea un triángulo de lados a, b, c, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son

La prueba original de Herón hace uso de los cuadriláteros cíclicos, mientras que otros argumentos apelan a la trigonometría como el anterior, o para el incentro y un excentro del triángulo [2].

En la forma 4A 2 = 4s(s − a)(s − b)(s − c), La parte izquierda de la fórmula de Herón se reduce a (ch)2, o bien usando b 2 − d 2 = h 2 por el teorema de Pitágoras; en cuanto a la parte derecha de la fórmula, puede expresarse como vía la identidad (p + q) 2 − (p − q) 2 = 4pq.

al sustituir 2s = (a + b + c) y simplificando.

Respecto la segunda expresión, s(s − a) − (s − b)(s − c), expandiéndola y sustituyendo el valor de s=(a+b+c)/2 se reduce hasta Sustituyendo b 2 por d 2 + h 2 y a 2 por (c − d) 2 + h 2, por teorema de Pitágoras, entonces simplificando se obtiene cd según se requería.

Se parte del hecho de que para todo triángulo su área es igual a

En la fórmula precedente los paréntesis son absolutamente necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y A será el área del mismo.

Hay que asegurarse de que los datos a, b y c que se proveen al determinante cumplan con la desigualdad triangular (véase figura), de lo contrario no se trataría de un triángulo y en ese caso el determinante daría resultados positivos o cero pero erróneos.

Por otra parte con datos que si cumplan con la desigualdad triangular el determinante da siempre resultados negativos (no necesariamente erróneos pero inapropiados dentro de una raíz) por lo cual es necesario tomar el valor absoluto del determinante que está dentro de la raíz, de lo contrario obtendríamos resultados complejos.

Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados.

[6]​ Si U, V, W, u, v, w son las longitudes de las aristas del tetraedro (las primeras tres forman un triángulo, u opuesto a U, y así sucesivamente), entonces[7]​ donde Un conjunto de n vectores linealmente independientes determinan un volumen de dimensión n. Si A es la matriz cuyas filas son estos vectores, el volumen de la figura n-dimensional que determinan es siendo

Esta fórmula coincide con las generalizaciones anteriores y con el determinante de Cayley-Menger.

Y permite calcular el volumen que determinan estos n vectores a partir de sus aristas.

Basta tener en cuenta que si a y b son los módulos de dos vectores u, v, y c es el módulo de la arista en la misma cara, entonces el producto escalar de u y v es: