Fórmulas de Machin
En matemáticas, las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al
= 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706: que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.
Las fórmulas de Machin tienen la forma con
El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.
Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad.
Esto conduce a la posibilidad de que un número
pueda encontrarse tal que Usando el álgebra elemental, se puede aislar
: Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a y así Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos.
Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por
y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos.
Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a
Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin.
Si desea utilizar números complejos para demostrar que
en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando.
y ya que las partes real e imaginaria son iguales,
El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo.
Se utilizaron estas dos fórmulas: Las fórmulas más conocidas de Machin, actualmente eficaces para la informática Estas fórmulas de Machin se muestran en las siguientes identidades; o equivalente, Estas identidades se derivan fácilmente de la definición de arco tangente.
Con estas identidades, se muestra la fórmula de Machin como la de Takano;
