Fórmulas de Machin

En matemáticas, las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al

= 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706: que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.

Las fórmulas de Machin tienen la forma con

El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.

Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad.

Esto conduce a la posibilidad de que un número

pueda encontrarse tal que Usando el álgebra elemental, se puede aislar

: Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a y así Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos.

Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por

y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos.

Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a

Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin.

Si desea utilizar números complejos para demostrar que

en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando.

y ya que las partes real e imaginaria son iguales,

El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo.

Se utilizaron estas dos fórmulas: Las fórmulas más conocidas de Machin, actualmente eficaces para la informática Estas fórmulas de Machin se muestran en las siguientes identidades; o equivalente, Estas identidades se derivan fácilmente de la definición de arco tangente.

Con estas identidades, se muestra la fórmula de Machin como la de Takano;

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