En matemáticas, una forma espacial es una variedad riemanniana completa
de curvatura seccional constante
Los tres ejemplos obvios son el espacio euclídeo, la esfera n-dimensional y el espacio hiperbólico, si bien una forma espacial no tiene por qué ser simplemente conexa.
El teorema de Killing-Hopf de geometría riemanniana afirma que el recubridor universal de una forma espacial
de dimensión n con curvatura
, la n-esfera de puntos a distancia 1 del origen en
De forma similar, reescalando la métrica riemanniana en
Así, el recubridor universal de una forma espacial
Esto reduce el problema de estudiar formas espaciales al de estudiar grupos discretos de isometrías
que actúan de forma propiamente discontinua.
Nótese que el grupo fundamental de
Los grupos que actúan de esta forma en
se llaman grupos cristalográficos.
Los que actúan de esta forma sobre
El problema de la forma espacial es una conjetura que afirma que dos variedades riemannianas compactas asféricas con grupos fundamentales isomorfos son homeomorfos.
Las posibles extensiones son limitadas.
Se puede buscar conjeturar que las variedades son isométricas, pero reescalar la métrica riemanniana en una variedad riemanniana compacta asférica preserva el grupo fundamental, por lo que no es cierto.
Se puede también querer conjeturar que las variedades son difeomorfas, pero las esferas exóticas de John Milnor son todas homeomorfas y por tanto tienen grupo fundamental isomorfo, lo que prueba que es falso.