Klimsch estudió en la Real Academia de Bellas Artes en Berlín, y fue uno de los estudiantes de Fritz Schaper.
En la era del Nacionalsocialismo Klimsch fue altamente considerado como artista, y creó bustos de Erich Ludendorff, Wilhelm Frick y Adolf Hitler.
En septiembre de 1944 fue nombrado entre los artistas de más alto rango del Tercer Reich, en la lista Gottbegnadeten.
Poco antes de su muerte en 1960 recibió la Cruz Federal al Mérito.
Era ciudadano honorario de Saige, donde fue enterrado.