En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio.
La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.
Más formalmente, sea
un conjunto abierto del espacio euclídeo
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}
y sea
{\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }
una función medible en el sentido de Lebesgue.
Si la integral de Lebesgue:
es finita para todo conjunto acotado
es una función localmente integrable.
El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:
l o c
Toda función
del espacio
es un conjunto abierto de
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}
es localmente integrable.
Para ver esto, basta considerar la función característica
de un conjunto compacto
d x
d x
donde Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:
Y por tanto:
l o c
Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:
la afirmación se sigue también para funciones
que pertenecen al espacio
{\displaystyle L^{p}(K)}
para cada conjunto compacto