Función localmente integrable

En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio.

La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Más formalmente, sea

un conjunto abierto del espacio euclídeo

{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}

y sea

{\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }

una función medible en el sentido de Lebesgue.

Si la integral de Lebesgue:

es finita para todo conjunto acotado

es una función localmente integrable.

El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

l o c

Toda función

del espacio

es un conjunto abierto de

{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}

es localmente integrable.

Para ver esto, basta considerar la función característica

de un conjunto compacto

d x

d x

donde Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

Y por tanto:

l o c

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

la afirmación se sigue también para funciones

que pertenecen al espacio

{\displaystyle L^{p}(K)}

para cada conjunto compacto