En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, p2, p3, y así sucesivamente Para un número primo
un cuerpo p-ádico, es decir
{\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty }
el anillo de valuación y
expresa la valuación de
una función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y sea
un carácter de
En este caso se asocia un polinomio no constante
a la función zeta de Igusa donde
{\displaystyle s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,}
d x
es una medida de Haar normalizada de forma tal que
posee una medida unitaria.
Junichi Igusa demostró que
( s , χ )
es una función racional en
La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades.
Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a fórmulas explícitas.
(Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)
la función característica de
el número de soluciones de la congruencia Entonces, la función zeta de Igusa está relacionada con la serie de Poincaré por