En matemáticas, una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de funciones elementales fundamentales y constantes mediante operaciones racionales (adición, sustracción, multiplicación y división) y la composición de funciones.
Usando exponenciales, logarítmicas, potenciales, constantes, y las funciones trigonométricas y sus inversas, todas consideradas dentro del grupo de funciones elementales fundamentales.
[1] Las funciones elementales son un subconjunto del conjunto de las funciones generadas a partir de las funciones especiales, mediante operaciones elementales y composición.
Sin embargo, asume peculiar importancia el procedimiento de representarlas por fórmulas.
Esta función es elemental ya que puede obtenerse recursivamente a partir de combinaciones de funciones claramente elementales: En el siguiente orden: Otro ejemplo curioso de función elemental es el siguiente:
El dominio de esta última función no incluye ningún número real.
, hecho que no puede ser reconocido a simple vista a partir de la definición de la función elemental pero que se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch.
En el contexto del álgebra diferencial se define matemáticamente una función elemental, o una función expresada en forma elemental.
Utilizando la operación derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones pueden ser usadas en extensiones de cuerpos del álgebra.
Las funciones elementales son una extensión de las funciones racionales, se pueden añadir dos tipos de extensiones trascendentales (los logaritmos y las exponenciales).
Un cuerpo diferenciable F es un campo F0 (las funciones racionales sobre los números racionales, por ejemplo) en el que se ha definido una aplicación de diferenciación u → ∂u (donde ∂u es una nueva función, de tal manera que para dos elementos del campo F0, la operación de diferenciación es lineal:
Una función u de extensión diferencial F[u] de un campo diferencial F es una función elemental sobre F si la función u (esto es el ).