En matemáticas, la geometría diofántica es el estudio de las ecuaciones diofánticas mediante los métodos de la geometría algebraica, que han demostrado su gran potencia en este cometido.
En el siglo XX, algunos matemáticos tuvieron claro que los métodos de la geometría algebraica son herramientas ideales para estudiar estas ecuaciones.
[1] La disposición tradicional del material sobre ecuaciones diofánticas era por grados y por el número de variables, como en la obra Ecuaciones diofánticas de Mordell (1969).
[5] Un campo más grande a veces llamado aritmética de variedades abelianas ahora incluye la geometría diofántica junto con la teoría de cuerpos de clases, la multiplicación compleja, las funciones zeta locales y las funciones L.[6] Paul Vojta escribió: Una sola ecuación define una hipersuperficie, y las ecuaciones diofánticas simultáneas dan lugar a una variedad algebraica general V sobre K; la pregunta típica es sobre la naturaleza del conjunto V(K) de puntos en V con coordenadas en K, y mediante las funciones de altura, se pueden plantear preguntas cuantitativas sobre el "tamaño" de estas soluciones, así como las cuestiones cualitativas de si existen puntos y, de ser así, si hay un número infinito.
Por lo tanto, las soluciones de números racionales son la consideración principal; pero las soluciones enteras (es decir, los puntos del retículo) se pueden tratar de la misma manera que una variedad afín se puede considerar dentro de una variedad proyectiva que tiene un punto del infinito adicional.